MATEMÁTICAS

LOS TRABAJOS PRESENTADOS POR EL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS FUERON LOS SIGUIENTES:

· CALEIDOCICLOS

Los caleidociclos (también llamados calidociclos) son anillos tridimensionales -generalmente- de papel, compuestos por tetraedros unidos por sus aristas. Pueden girar sobre sí mismos infinitas veces sin romperse ni deformarse en torno a su centro.

Se han utilizado en el diseño gráfico, tanto para promocionales como material didáctico: tanto en la enseñanza de aspectos matemáticos, como de composición y diseño, gráfico, industrial o arquitectónico, así como de arte.

  

• POLIEDROS REGULARES CON ORIGAMI 
Utilizando la técnica origami construimos varios poliedros: el cubo, el octaedro estrellado y el icosaedro estrellado. En todos ellos se utilizaron módulos sonobe.

• DODECAEDRO COMO INVERNADERO  

Se utiliza la geometría del dodecaedro regular con un fin funcional: la construcción de un invernadero. Su construcción también se ha llevado a cabo utilizando la técnica origami.

•  POLIEDROS REGULARES CON PAJITAS DE REFRESCOS 

Se  utiliza la rigidez que aportan los triángulos para la construcción, usando pajitas de refresco, de tres poliedros con caras formadas por triángulos equiláteros: tetraedro, octaedro e icosaedro

• CUERPOS DE REVOLUCIÓN

• LAS TORRES KIO

• TRIÁNGULO DE SIERPINSKI

• EL ARMONÓGRAFO

·         Un armonógrafo es un aparato mecánico que utiliza péndulos para crear una imagen geométrica.

·         Los dibujos creados son las Curvas de Lissajous, figuras que fueron investigadas por Nathaniel Bowditch en 1815 y después, con mayor detalle, por el matemático francés Jules Antoine Lissajous al intentar hacer visible el movimiento vibratorio provocado por el sonido.

·         En el experimento original, Lissajous creó un dispositivo formado por dos diapasones de distintas frecuencias de vibración y colocó un espejo pequeño sobre cada diapasón. Luego colocó el conjunto de forma que un rayo de luz se reflejase, sucesivamente, en ambos espejos antes de proyectarse sobre una pantalla. La imagen que aparece en la pantalla (con apariencia de continuidad, dada su persistencia en la retina del espectador) es la figura. Este aparato fue sin duda alguna el antecesor de los armonógrafos.

·         Los armonógrafos, comenzaron a aparecer a mediados de siglo XIX y alcanzaron su punto máximo de popularidad en la década de 1890. Si bien su invención no puede ser atribuida a una sola persona, se adjudica a Hugh Blackburn, profesor de matemáticas en la Universidad de Glasgow, su invención oficial.

·         Un armonógrafo lateral sencillo, utiliza dos péndulos para controlar el movimiento de una pluma en relación con una superficie plana donde dibuja. Un péndulo mueve la pluma de un lado a otro a lo largo de un eje y el otro péndulo mueve la superficie de dibujo de ida y vuelta a lo largo de un eje perpendicular a la pluma. Al variar la frecuencia y la fase de los péndulos, se crean diferentes patrones. Incluso un armonógrafo simple como se describe puede crear elipses , espirales , ochos y otras figuras de Lissajous. Los armonógrafos más complejos, pueden incorporar tres o más péndulos unidos entre sí y dibujar figuras más complejas.

•  POMPAS MATEMÁTICAS

Vamos a sumergir esta figura (el tetraedro) en esta superficie jabonosa. Qué creéis que ocurrirá?

Al contrario de lo que podamos pensar, la superficie jabonosa no queda en las caras del poliedro, sino que se van hacia dentro, juntándose en el punto medio del tetraedro.

¿Por qué ocurre esto? Por la tensión superficial de las pompas.

Las leyes de Plateau nos dicen cómo se van a formar las películas de jabón.  En este caso la superficie mínima está por el interior de la figura y se juntan en el centro porque los ángulos coinciden.  Si aumentamos la presión soplando por un tubito observamos lo que ocurre.

Vemos que se reproduce la misma figura exterior pero ahora por el interior.

Si introducimos el cubo observamos que ocurre algo similar.

Ahora no se juntan en el centro de gravedad del cubo ya que el ángulo que nos dice Plateau (aprox. 109º) es más abierto que el del centro del cubo con los vértices opuestos (90º), luego nos queda un cuadrado en el centro de la figura.

De nuevo si ejercemos más presión en el interior (y soplamos de nuevo), aparece la misma figura exterior pero a escala.

Vamos a probar con el resto de los poliedros regulares.

• EL OMNIPOLIEDRO

Muchos de vosotros no sabréis lo que es un OMNIPOLIEDRO. Pues bien, la palabra omnipoliedro significa todos los poliedros, y recibe este nombre porque está formado por el armazón de los cinco poliedros regulares: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.       
   La construcción se realiza de forma que los cinco están inscritos uno dentro de otro. En el interior se encuentra el Octaedro (color naranja); sus vértices se sitúan en el centro de las aristas del Tetraedro (color dorado). Los cuatro vértices del tetraedro coinciden con otros tantos del Cubo (color azul claro). Las aristas del cubo se encuentran sobre las caras del Dodecaedro (color verde), y por último, el Icosaedro (color azul oscuro) proporciona rigidez al dodecaedro cuando las aristas de ambos se cortan el los puntos medios. 

Las dimensiones son:

Octaedro: arista de 0,71 m (71 cm aprox)

Tetraedro: arista de 1,41 m (141 cm aprox)

Cubo: arista de 1 m

Dodecaedro: arista de 0,62 m (62 cm aprox)

Icosaedro: arista de 1 m

El peso aproximado de la construcción: Alrededor de 20 kg.

El diámetro del omnipoliedro: 2 metros aproximadamente.

• EL ELIPSÓGRAFO

El elipsógrafo es un instrumento para trazar elipses.  Este es conocido como el compás de Arquímedes.

Una elipse es una cónica donde se cumple que la distancia a dos puntos fijos del plano (llamados focos –F1 y F2 en la figura) es siempre la misma (siempre es 2a).

La distancia entre el centro del eje y el punto A (o del centro y el punto B, que es la misma), vale a. 

En nuestro aparato, esa distancia se corresponde con la distancia entre la rueda azul más exterior y el boli.

La distancia entre la rueda azul interior y el boli es lo que se corresponde en el dibujo con b.

La distancia entre las ruedas es a-b.

Para calcular la distancia focal (a qué distancia están los focos del centro) tendríamos que calcular (por Pitágoras) a²-b² y luego la raíz del resultado.

• MEDICIÓN DEL RADIO TERRESTRE

En el pasado mes de Marzo, coincidiendo con el equinoccio de primavera, cinco institutos de España, entre ellos el nuestro, decidimos calcular el radio terrestre de la misma forma que lo realizó Eratóstenes allá por el siglo III antes de Cristo.

Para ello midió la sombra que proyectaba un objeto (en nuestro caso los palos que tendréis encima de la mesa).  Para estar sincronizados con el resto de institutos y hacerlo bien, tendríamos que calcular la sombra que proyectaba el palo justo en el mediodía solar.  Las distintas marcas que veis en el papel (y señaláis al trozo de papel sobre la mesa donde están las marcas) son para identificar el mediodía.  Una vez lo encontramos, medimos la distancia para poder calcular el ángulo de incidencia de los rayos solares en Navia.

El resultado fue de xxxxº (lo miráis en el cartel).  Comparando la diferencia de grados con respecto a los otros institutos y sabiendo la distancia que nos separa de ellos, el cálculo del perímetro terrestre es tan sencillo como una regla de tres:

Si hay tantos grados de diferencia en tantos kilómetros de distancia, en 360º habrá x distancia.

Para poder hallar el radio solo nos queda recordar la fórmula de la longitud de una circunferencia: L = 2·pi·r

De ahí obtenemos el radio.

Con un instituto de Extremadura, Oliva de la Frontera, logramos encontrar que el radio terrestre medía 6351 km, cometiendo un error en los cálculos de tan solo el 2,1%

Este es un vídeo de cómo se realizaron las mediciones.  En él podéis observar al final del mismo cómo se va desplazando la sombra a lo largo de la mañana.

• CÓNICAS CON HILOS

• LA FUNCIÓN SENO

Llamamos función seno a aquella que representa el valor del seno de cada ángulo. El seno es la división entre el cateto opuesto y la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

Para ello dividimos una circunferencia en 24 partes para ir marcando los senos de los ángulos que van de 0 a 360º representados con estas varillas.

Si vamos trasladando estas varillas a este listón de madera donde el eje lo forma la misma circunferencia, obtenemos una representación tabulada de la función seno.

• LA ESPIRAL DE ARQUÍMEDES

La espiral más simple la podemos encontrar al mirar una cuerda enrollada sobre sí misma. Es muy fácil reconocerla: la anchura de sus espiras es siempre la misma. Por eso se la conoce con el nombre de espiral uniforme. La naturaleza no es muy pródiga a la hora de mostrarnos este tipo de espiral, aunque la podemos reconocer en esta serpiente enrollada o en la trompa de una mariposa. No es extraño esta extraña lengua se llame espiritrompa. El hecho de que sea la espiral más sencilla de construir hace que aparezca como motivo ornamental desde las épocas más remotas. La encontramos ya en túmulos mortuorios de la edad del bronce y en vasijas griegas y etruscas.... La podemos representar de manera muy sencilla simplemente haciendo girar una plataforma. Basta con ir desplazando el bolígrafo en una dirección determinada, desde el centro hacia el borde, con una velocidad constante.

Se la conoce entre los matemáticos como Espiral de Arquímedes, ya que fue este notable físico y matemático griego el primero que, fascinado por su belleza, realizó un estudio profundo sobre las propiedades matemáticas de esta curva en el siglo III antes de Cristo en un escrito titulado Sobre las espirales.